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  有理數及其運算
  有理數及其運算
  介紹有理數性質並設計例題,由易而難熟練有理數運算。
   
 
三分鐘瞭解自費出書
 
出書543

 
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商品訊息
 

作  者:潘振輝
類  別:進修學習
出  版:自行出版
出版日期:2016年10月
語  言:繁體中文
I S B N :9789574326396
裝  訂:平裝

定  價:NT$450

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內容簡介

 
 
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內容簡介

序 / 導讀

試  閱

作  者

   
 

本書內容先把整數作平分推導出有理數的存在性、多樣性及稠密性。接著說明其加法與減法都是由有理數作變形而返回到整數的操作。對相同有理數做累加或做平分的方式推導出“乘法”與其反運算“除法”。明顯看出“乘法”與“除法”可互換的,即是一體的兩面。利用分數的運算方法介紹有關有理係數多項式、分式 (有理式)的運算及其方程式、不等式等解法。由相同有理數相乘、相除,詳細說明有理數為底的整數指數所表示的意義。為了介紹小數表示法及無窮小數的意義,先介入數列與級數並討論無窮數列與級數的收斂性。
各章、節中,除介紹有理數的性質外,皆依各種性質設計例題,並以各例題的難易度調整其先後順序 -- 由易而難。每一段落都附有相關的練習題做為複習,以增進學習效果。各練習題的詳解,寫成另外附冊。

1. 本書以平分概念介紹有理數 (分數) 的由來及每一有理數的各種變形。
而小數也是有理數的一種變形
2. 由有理數的次序關係建立在直線(數軸) 上,所呈現有理數的特性 —— 稠密性。以此有理數具有連綿不斷的意義可解釋無理數的存在
3. 有理數的加法與減法,乘法與除法都是一體兩面。其運算方法就是把有理數作變形後,再運用整數運算來處理。其反向運算是作因數分解
4. 有理數各種運算性質,引用至有理係數多項式及分式,也可解分式方程式及不等式
5. 細說有理數的乘法建立乘冪及以正有理數為底的指數律
6. 進一步介紹有理數列與級數及其極限 (此部分儘量淺顯例子作說明),最後依級數的極限來證明循環小數的存在性

   
 

本書介紹有理數(分數)的由來、「相等關係」、「次序關係」及運算四則的性質。以邏輯推理法則,儘量避免未經證明的性質不得提前使用,由整數逐步作平分導出分數。但分數的進展過程較整數為複雜,中途需藉助於多種方法,以附註方式插入說明

本書內容先把整數作平分推導出有理數的存在性、多樣性及稠密性。接著說明其加法與減法都是由有理數作變形而返回到整數的操作。對相同有理數做累加或做平分的方式推導出“乘法”與其反運算“除法”。明顯看出“乘法”與“除法”可互換的,即是一體的兩面。利用分數的運算方法介紹有關有理係數多項式、分式 (有理式)的運算及其方程式、不等式等解法。由相同有理數相乘、相除,詳細說明有理數為底的整數指數所表示的意義。為了介紹小數表示法及無窮小數的意義,先介入數列與級數並討論無窮數列與級數的收斂性。

各章、節中,除介紹有理數的性質外,皆依各種性質設計例題,並以各例題的難易度調整其先後順序 -- 由易而難。每一段落都附有相關的練習題做為複習,以增進學習效果。各練習題的詳解,寫成另外附冊。
承蒙景文科技大學陳達元教授的電腦技術指導、小兒潘建安先生修正版面。屏東教育大學黃金鐘教授討論內容及增補,特此一併感謝。

   
 

介紹正分數的記號

(1) 為正整數, 1 n 所表示的意義
正整數有1、2、3、…、 、…中,2是兩個1合併的結果或說2是1的2倍;2是兩個2合併的結果或說4是2的2倍;6是兩個3合併的結果或說6是3的2倍;…

( a ) 當 2是1的2倍、4是2的2倍、6是3的2倍、… 時,表示2可分成兩
個1、4可分成兩個2、6可分成兩個3、… 。反過來說 1是2的一半、2是4的一半、3是6的一半、…。這時候、就把一半的概念叫做二分之一,記為 1 2 。即1是2的一半、2是4的一半、3是6的一半、… ,也可說成 1是2的 1 2 、2是4的 1 2 、3是6的 1 2 、… 。
可知:把 2作平分得1;4作平分得2;6作平分得3;… ,會有1是2的 1 2 、2是4的 1 2 、3是6的 1 2 、…

【註】2是1的2倍,把 2作平分得1與1是2的 1 2 都表示同一件事三種不同說法。但1是2的 1 2 說法中的 1 2 ,提出不同於正整數的新記號 1 2 。

( b ) 同理,當 3是1的3倍、6是2的3倍、9是3的3倍、… 時,表示3可分成三個1、6可分成三個2、9可分成三個3、… 。反過來說 1是3的 1 3 、2是6的 1 3 、3是9的 1 3 。一般情形, 為正整數且 n為 1的 n倍,記為 1是n的 1 n
可知:把 3作三等分得1;6作三等分得2;9作等分得3;… ,會有1是3的 1 3 、2是6的 1 3 、3是9的 1 3 、… 。把 n作n等分得1,會有1是n的 1 n

【註】先提出新記號 1 3 。進一步,把 8作 4等分得 2叫做 2是8的 1 4 , …。得
出把 n作n等分得1,叫做 1是 n 的 1 n

但是,任一正整數 n可以作平分嗎 ? 如果把3作平分,5作平分,9作平分,…,可得什麼結果 ? 又任一正整數 n可作3等分嗎 ? 或可作4等分嗎 ? …

(2) 0、1、2、…、到 ,分別除以 的意義
(a) 從數線上看,取原點O對應0,在右方另取點A對應1。線段 取點B、C作3等分,得 = = = 1 3 。規定O點代表 0 3 = 0,由點O右移1個 1 3 到達B點代表 1 3 ﹔右移2個 1 3 到達C點代表 2 3 ;右移3個 1 3 到達A點代表 3 3 = 1。對 、 與 分別取中點P、Q與R,使得 = = = = = = 1 6 。使O、P、B、… R、A分別對應 0 6 = 0、 1 6 、 2 6 、…、 5 6 、 6 6 = 1。如下圖:
O P B Q C R A

0 3 = 0 1 6 2 6 =1 3 3 6 = 1 2 4 6 =2 3 5 6 6 6 =3 3 = 1
(圖1-6)

(b) 從數線上看,取原點O對應0,右方取點A對應1且定 = 1。由O到A取n-1 點B1、B2、B3、…、 、 將線段 作n等分法,得 = = … = = 1 n 。線段 上的n + 1點O、B1、B2、B3、…、 、 、A分別對應 0 n = 0、 1 n 、 2 n 、 3 n 、…、 、 n n = 1。如下圖:

O … A

0 n =0 1 n 2 n 3 n … n n =1
(圖1-7)



例:將面積為1的長方形作3等分,得3個同面積的小長方形
○1 對1個長方形的面積為1,得1個小長方形A的面積是 1 3 = 1 ÷ 3
○2 2個相同長方形的面積為2,上下並排作3等分,每1等分恰好2個小長方形A,其面積為 2 3 ,即是2 ÷ 3 = 2 3 或將2平分成3份中的1份
○3 3個相同長方形的面積為3,上下並排作3等分,每1等分恰好3個小長方
形A,其面積 3 3 即是3 ÷ 3 = 3 3 或將3平分成3份中的1份
○4 同理,將4平分成3份中的1份。記為4 ÷ 3 = 4 3 。可參考下列四圖















可知:1作3等分的1等分是 1 3 = 1 ÷ 3。2作3等分的1等分是 = 2 ÷ 3
3作3等分的1等分是 3 3 = 3 ÷ 3。 4作3等分的1等分是 4 3 = 4 ÷ 3

因此,任一正整數 n可以作平分的結果,記為。任一正整數 n可以作三等分的結果,記為。任一正整數 n可以作四等分的結果,記為。…

   
 

學歷:美國 CHICAGO STATE UNIVERSITY 數理碩士
國立台灣師範大學數學系畢業
經歷:高雄市立左營高級中學 數學教師
高雄市立女子高級中學 數學教師
台北市立第一女子高級中學 數學教師
景文技術學院 財政稅務系 講師

 
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