本書先介紹自然數的由來，然後由各自然數的「相等關係」、「次序關係」與加、減、乘、除等運算四則而延伸至整數。以邏輯推理法則由基本假設開始做逐步推導，儘量做到未經證明的性質不得提前使用。因此，推理過程條理分明，連貫前後各環節。
本書內容由自然數的十進位制推導出自然數的加法及其各性質。經由加法的反運算導出減法，由累加的結果推出“乘法”與乘法的反運算“除法”。同樣的，由累次相乘得新記號“冪”及“指數律”。利用多項式由十進位制進一步介紹其他進位制。另外介紹倍數與因數是自然數整除性的關連性。又以自然數為基礎說明整數的由來及各種性質。對負整數的意義及乘法的變化有詳細說明。為了要使說明更形嚴密、完整，以附註方式插入圖形並介紹圖形的由來與各種形質。
各章、節中，除介紹各種不同的性質外，常依各種性質設計有淺度、深度層次的例題而後介入未知數、方程式、不等式與數列等概念及其各種解法。每一段落都附有相關的練習題做為複習，以增進學習效果。各練習題的詳解，寫成另外附冊。

1. 本書詳細介紹自然數的由來，延伸至進位制，並按有順序、逐步解說各進位制的四則運算
2. 教你了解自然數加法的原理。由加法到減法，進一步再導出乘法，然後詳細討論、說明除法也是乘法的變形
3. 以淺顯例子引進邏輯原理與推理規則及各種常用的推理方法，增進讀者推理及解證明題的能力
4. 由自然數的各種性質，延伸至如何解方程式、不等式及其應用
5. 由自然數的乘法建立乘冪以及正整數為底的指數律
6. 利用對立概念與數線，介紹負整數的存在性而構成整數。並由基本原理來說明依負整數的特性參與全體整數的各種運算法則

本書先介紹自然數的由來，然後由各自然數的「相等關係」、「次序關係」與加、減、乘、除等運算四則而延伸至整數。以邏輯推理法則由基本假設開始做逐步推導，儘量做到未經證明的性質不得提前使用。因此，推理過程條理分明，連貫前後各環節。
本書內容由自然數的十進位制推導出自然數的加法及其各性質。經由加法的反運算導出減法，由累加的結果推出“乘法”與乘法的反運算“除法”。同樣的，由累次相乘得新記號“冪”及“指數律”。利用多項式由十進位制進一步介紹其他進位制。另外介紹倍數與因數是自然數整除性的關連性。又以自然數為基礎說明整數的由來及各種性質。對負整數的意義及乘法的變化有詳細說明。為了要使說明更形嚴密、完整，以附註方式插入圖形並介紹圖形的由來與各種形質。


各章、節中，除介紹各種不同的性質外，常依各種性質設計有淺度、深度層次的例題而後介入未知數、方程式、不等式與數列等概念及其各種解法。每一段落都附有相關的練習題做為複習，以增進學習效果。各練習題的詳解，寫成另外附冊。
承蒙景文科技大學陳達元教授的電腦技術指導、小兒潘建安先生幫忙訂正版面。曾與屏東教育大學黃金鐘教授討論內容及新竹市關東國小鍾悅文老師詳細校閱、增補。定稿前商請前台北市第一女中潘喬松老師與楊世昌老師校正，特此一併感謝。
耗費多年時光自行逐字敲打、多次校對、修正與濃縮，盡綿薄之力完成此書。僅供中、小學數學教育者及基礎數學有興趣者作為參考，其中貽誤之處在所難免。敬請各界先進不吝指正。

記號「0」的由來及其意義

我們已經學到 1代表某個個體。以及 1以後的接續數2、3、…、9
（a） 直線上任取一點代表1，取適當長度的線段“ ”的作為一單位。這種一單位的長度依所需要情形而定。由點1開始，向右移一單位到達的點代表1的接續
數2，由點2，向右移一單位到達的點代表2的接續數3，…，直到9，即直線上用點來表示1、2、3、4、5、6、7、8、9。。如下圖：


1 2 3 4 5 6 7 8 9
圖（1-1）

直線及其上表示自然數的點合起來叫做數線或數軸，而代表1的點可記為點1，代表2的點可記為點2，…，代表9的點可記為點9。在數線上，可以由點9左移一單位得點8，由點8左移一單位得點 7，…，直到點1。這種先後的順序不能變動

（b） 數線上，由點1左移一單位到達的點代表什麼？這個問題曾經困擾人類很長的時段。模糊的解釋：「直線上由某個點，右移一單位到達點1後再左移一單位回到
這個點」
如乙借給甲1隻羊，乙在牆壁上作記號「1」。甲歸還後，乙把「1」擦掉或者某人的口袋裡僅有1張百元鈔，用來購買一本書，口袋裡就沒有百元鈔。這種概念，六千多年前巴比倫人曾經用空白「」表達。但空白的用法有時會產生混淆。直到了中世紀印度人的書才有出現記號「．」用來表達「這某個點」，後來改用「0」表示，讀作「零」。即數線上點1左移一單位到達的點，記為「0」。這個點也叫做點O。如下圖：

O

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
圖（1-2）
表示由點O右移一單位、一單位的到達1、2、3、…、7、8、9各點

上圖（1-2）也叫做數線或數軸，其中對應0的點叫做原點，記為原點0。由原點O右移k個單位到達的點代表自然數k。原點O不作右移，仍留在原點O上
可知：記號「0」代表兩種意思：當代表某一點作為出發點移動到另一點時，這個出發點就叫做 0。另外，當代表某一物出現，後來又消失時，這種沒有了的情形也叫做 0

例： ○1 氣候的溫度為攝氏0度並非沒有溫度，可解釋為：這種氣溫再繼續下降時，「天空將要下雪」狀況下的一種概念
○2 某公司今年度的盈餘為0表示今年度「公司沒有盈餘，也沒有虧損」或「公司的收入與支出平衡」的狀況

（c） 將接續「9」的數用新記號「0」代替且在「0」左方補一個「1」湊成另一新記號「10」。這個新記號「10」讀成「十」。於是，把數線上的點9右移一單位到達的點，也叫做點10。如下圖：


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
圖（1-3）
此後，以「10」作為另一個新的開始，把「10」的0用1代替，得「11」作
為「10」的接續數、而把「11」右邊的1換成1的接續數2得「12」作為「11」的接續數、而把「12」的2換成2的接續數3得「12」的接續數「13」、…、直到得「19」，分別讀成「十一」、「十二」、「十三」、…、到「十九」

這種巧妙的應用「0」及位置法，使得「9」改成「10」後，由「0」開始重複應用「1」、「2」、「3」、…、到「9」的方式是人類文明的一種了不起的設計與發明

（d） 把「19」中的9換成0且左邊的1改成1的接續數2，得19」的接續數記為「20」。把「20」中的0換成1，記為「21」，即是「20」的接續數。再由「21」依2、3、…、9的次序得「22」、「23」、…、「29」。同理，由「29」得「30」、「31」、…、「39」、「40」、…、「49」、「50」、…、「79」、「80」、…、「89」、「90」、…、「98」、「99」
（c）與（d）的記法都叫做自然數十進位制

（e） 直線上，取一點為原點O作基準，右移1單位得點代表點1，再以點1為基準，右移1單位得接續1的點代表點2；再右移1單位得接續2的點代表點 3， …，逐次作下去，可得分別代表各接續數4、5、…、10、11、12、…、98、99的點。這些點與原點0也構成一數線。如下圖：


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 0 21 22 2 3 24 25 26 27 、…、…
圖（1-4）

因此，由「0」、「1」、「2」、「3」、… 與「9」的位置作移動、重複使用，可得
10、11、12、…、98到99的數

例：學校的某一班新生共有30人，第1天上課前讓全班學生，依身高最矮的排到最高者的順序而定其座號。通常，最矮個子的定為1號、其次的定為2號、再其次的定為3號、…、到最高個子的定為30號。每位學生有了座號，相當方便。在教室內要叫出某一學生只要叫出他的座號即可

例：台灣的國道1號高速公路雖然不是完全成直線形，也可由基隆端為起點標上0。同時在南下與北上雙向車道外側，逐步由基隆端點標上0，往南向每隔1公里豎立號碼牌，分別各標上1、2、3、…，一直到最後的高雄最南端標上367。在桃園中壢平鎮系統交流道出口處標上65。如果有人發現在國道旁的平鎮附近有野火燃燒，濃煙妨礙行車安全。可利用路旁的號碼牌說出其確實地點報警處裡。譬如說出地點在南下（或者北上）65公里附近，讓警方或消防單位的人員能迅速、正確的抵達現場做處理

學歷：美國 CHICAGO STATE UNIVERSITY 數理碩士
國立台灣師範大學數學系畢業
經歷：高雄市立左營高級中學 數學教師
高雄市立女子高級中學 數學教師
台北市立第一女子高級中學 數學教師
景文技術學院 財政稅務系 講師